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コマ大数学科内容補足

度々数学話題ですみません。
コマ大数学科ご覧になって頂いた方、ありがとうございました。いかがでしたか?
なんだかテレビに全然慣れていない緊張空気の私(冷や汗)はともかくとして、
皆さん面白いし素敵ですね。
みんなが数学大好きな雰囲気で、いい番組ですね。

私としては、本当~に極めておっちょこちょいで、本質的でないところでもしょっちゅうミスをするのですが…;;こうした問題はやっぱり思わず闘志?を燃やしてしまいます。
&色々と拡張や一般化等、さまざまな挑戦を色々したくなりますね…
今回は比較的簡単な問題だったように思いますが、
本番中や当日帰宅中に考えた考察をいくつか以下に書いておきます。
興味がある方は読んで下さい。
今回はなんだか舞い上がってしまっておりました;;が、
もっと自然体でまた臨めたら嬉しいです。また、是非呼んで下さい♪

こんな光栄な機会を頂いて本当に幸せです!
でも、いつかは、ちゃんとジャズシーンでもっとテレビに映れるような大物(?!)になるべく、頑張らねば!!!
いつも、本当にいい演奏してるんですよ~……(自画自賛です・・・すみません・・・)
私は、まだまだ未熟者ではありますが、
人生をかけて、「音楽」を、生きることを探求するのは、本当に面白い。
追及し続けるからこその醍醐味があります。
酸いも甘いも、歓びも哀しみも、人生の微妙な機微を表現できるような、
そして、生きるって混沌としているけれど、だからこそもおもしろい!
それでいいんだ!という生命力のある音楽家になりたい。
・・・生で聴いて頂いてこその醍醐味があるはずだと思っています。
是非、数学好きの方も、もちろん、そうでない方も、ライブにいらして下さい!
(決して、数学的に難しい音楽ではありません…)
ぜひぜひ。皆様とどこかでお会いできたら、本当に幸せです。
(9月15日のライブをCDやDVDにして頂いた方々、本当に有難う御座いました!(MC消去して)音楽のみ続けて聴くと、本当に素晴らしい!!!とある方に絶賛?頂き、ちょっといい気分に浸っております。確かに、なかなか素敵なのです…
今までの音もいくつか混ぜて簡単なCDにしちゃおおうかな?^^
でも、もっともっと良くなってゆきますので、更に更にご期待下さい。)

そして、数学も、やっぱり奥深くまで味わってこそ、どんどん面白さ、酸いも甘いもふくんだ魅力が現れてきます。
最近色々な先生方にお世話になりながら、ちょっぴり、また少し深くまで味わえたら、と少し人生寄り道?しています。もう少し、見えるようになってきたら、いいなぁ。そして、音楽と数学、人生に共通する何か魅力、醍醐味を、もっと味わって、少しでも子供達や社会に、お伝えしてゆけたらよいなぁ、とも思っています。
頑張ります。

さて、以下は少しマニアックですが!コマダイ数学科解答補足!

(興味のない方は飛ばして下さい…。絵もないので、説明がわかりにくいと思いますが…)

といっても、特に補足することもないのですが・・・ある程度わかる方向けになりますが、

例えば問題1では、n!の最後に現れる"0"の個数をf(n)とすると、f(n)=15となるnは?という問題でした。

このf(n)の評価として、
(n-5)/4-log(n+1) <f(n)<n/4
特に、lim(n→∞) f(n)/n = 1/4

があげられます。
(もっと大雑把にはn/5<f(n)<n/4))
左端は、大体nが5の巾乗-1になっているときのf(n)で、右端は大体nが5の巾乗になっているときのf(n)。

(概略。本番で書いてあるようにガウス記号を用いれば、f(n)=[n/5]+[n/25]+[n/125]+...となります。なお、[a]とは、aを超えない最大の整数。たとえば、n=65のとき、[65/5]=13、[65/25]=2となります。
当然、[a] はa以下なので、f(n)<n/5+n/25+n/125+.......<n/4(無限等比級数)となります。)

ちなみに、nが5のべき乗5^mになるときのf(n)=(5^m-1)/4を5進法で書くと、1111...1(1がm個並んでいる)となっています。
(そして、その手前の連続するm個の数は、f(n)の値として取りえない。(値域に含まれない。))

ちなみに、f(n)=15となるnを求めなさい、というのが今回の問題でした(私は最初25と読み間違えました!!!笑。もし、f(n)=25だとf(105)=21+4なので、105が正解です。おっちょこちょいには気を付けて!)が、
このときはnが15 ×4 と 15 ×5 の間にあることはすぐわかりますね。
(正答は65なので、このようにf(n)が小さい値では余り良い評価ではないですね。)
では、f(n)=150ではどうでしょうか?
答えはn=610、f(n)=122+24+4=150であり、
かなり、4f(n)に近くなっています。

また、3問目も特に補足することもないのですが(3つ目の円は、外接円の半径がaである三角形の各辺の中点を通る円の面積を求める問題。こう書くと当たり前ですが・・・
ちなみに、これはいわゆる9点円と呼ばれる有名な円です。外接円を重心を中心にくるっと-1/2倍に相似拡大すると、あの円になります。
わかりますか?簡単ですね。
(なお、9点円についてはいろんな解説書があります。))

敢えて、1つ目の浮き輪形の部分の面積について。
(小さな円と大きな円にはさまれた領域の面積。小さな円に接する弦が、大きな円により切り取られる部分の長さをaとする。)

面積はピタゴラスの定理から簡単に計算できるのですが、
あの面積がちょうど半径a/2の円の面積と同じなのは、面白いなぁ!と思ったので、一応自然な理由を考えてみました。
(ただ、誤差項の説明をきっちりしようとすると大変なので、本番は控えました)

すこーしだけ、真ん中の円の周に沿って、あの長さaの弦を中点で切り取った線分(長さa/2)をスライドさせる(小さな角度dθだけ動かす)と、
凄く大雑把に見ると(正確には2次以上の誤差項の評価をしないといけないのですが)、

線分が動いた部分の図形は、半径a/2、中心角dθの小さな扇形と、殆ど同じ(特に面積もほぼ同じ)なのです。

そこで、その小さ~な扇形を、たくさん(dθについて)足し合わせてみると、
(そしてdθをも っともっと小さくしていって極限をとると(θについての積分))
それは各々、
問題の浮き輪部分と、半径a/2の円
になります。
つまり、面積が同じなのも、たまたま偶然というわけでなく、然るべき理由があったというわけです。

絵がないとわかりにくいでしょうか。
とにかくちいちゃーく分割したら、ほとんど同じものの集まり、
というイメージです。

結構、面白いなぁと一人で悦に入っておりました。(2)(3)は特にあれ以上補足することもないかな?

本番中は、生徒でもある葛西さんにたくさん説明してもらいました♪
問題3の葛西さんの説明わかりやすかったですよね?

さてさて、問題2はなかなか思いつかない!
たけしさん、凄しです…

(土地を二ヶ所に分割し、各土地が相似、というのでも良ければ、すぐ見つかりましたが・・・やっぱりそれはダメですよね・・・)

問題2の一般化ってできるのかな?
(例えば、適当な整数比a:b:cに対して、正三角形を面積がa:b:cの相似な図形に分ける。
まだ考えたことはないのですが、
誰かわかれば(ライブにいらして^^?!)教えて下さい!
他にも、何か拡張や別解などのネタがあれば、教えて下さい。)

ちなみに、任意の多角形は、有限個の相似な三角形に分割できます。
(相似比や個数は問わない。)

結構面白い問題なので、挑戦してみて下さい。

相変わらず、思わず、問題を出されると、刺激されてしまい、拡張等を考えたくなってしまいます…
更には、その底にもっともっと深い事実や理論が眠っていないかなぁなどとふっと深入りしてみたくなるのですが…
(今回の内容は、余り、これ以上の深入りは余り思いつかないのですが。。。)

やっぱり、深い海に潜れば潜る ほど、上で見えていたいろんな不思議の理由が見えたり、
すごく美しい魚に出会えたりして、楽しいですよね。

最近、ちょっとゼータに再びはまり始めております。&素数の不思議?

もちろん、音楽は、相変わらず、追及追求の毎日です。

音楽も、数学も、できれば、日々、もっともっと、深い部分に潜って、

真理?と呼べるような何かに、ふっふっと出会って、

感動したり、目覚めたり?、してゆけたら、と思います。

取り急ぎ。
長文乱文失礼致しました…

ではまた!
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プロフィール

中島さち子

Author:中島さち子
(ピアノ、キーボード、作曲)
都内周辺のライブハウスなどを中心に活動中。自己のtrioや☆∞※★&♭(ZADI)などでは、自作曲を中心に活動している。
2010年2月より、中島さち子Trioの初CD「REJOICE」絶賛発売中。
rejoices


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